作业帮若正实数a,b、满足a+b+3=ab,则a^2+b^2的最小值为
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 14:34:06
若正实数a,b、满足a+b+3=ab,则a^2+b^2的最小值为
若正实数a,b、满足a+b+3=ab,则a^2+b^2的最小值为
若正实数a,b、满足a+b+3=ab,则a^2+b^2的最小值为
我晕,a^2+b^2明显是个非负数,怎么就是－7了呢!
由a+b+3=ab可得,
(a+b)^2 = (ab-3)^2
于是a^2+b^2+2ab= a^2*b^2-6ab+9
又由于a^2+b^2 >= 2ab
所以a^2*b^2-8ab+9 >= 2ab
所以(ab-9)(ab-1) >= 0
所以ab >= 9 或是 ab 3(a,b均为正实数）
所以ab >= 9
所以a^2 + b^2 >= 2ab >= 18
而当a=b=3时,可以满足上述条件,正好可以得到最小值18
因此,a^2 + b^2的最小值为18
a^2+b^2 = (a+b)^2 -2ab =(ab-3)^2 - 2ab =
a^2b^2 -8ab + 9 = (ab-4)^2 - 7
所以最小值为 －7
最小值是18当a=b=3时，取最小值，理由如下：
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(ab-3)^2-2ab=t^2-8t+9(t=ab)
因为ab=t,a+b=t-3,所以a,b满足方程x^-(t-3)x+t=0,又a,b存在，
则判别式[-(t-3)]^2-4t>=0,则t>=9或t<=1
有a,b是正数，所以取t>=9,可知道t^2-8t+9在t=9是最...
全部展开
最小值是18当a=b=3时，取最小值，理由如下：
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(ab-3)^2-2ab=t^2-8t+9(t=ab)
因为ab=t,a+b=t-3,所以a,b满足方程x^-(t-3)x+t=0,又a,b存在，
则判别式[-(t-3)]^2-4t>=0,则t>=9或t<=1
有a,b是正数，所以取t>=9,可知道t^2-8t+9在t=9是最小，为18，
这时，又方程x^-(t-3)x+t=0，且t=9可以求出a=b=3
收起
a+b=ab-3
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(ab-3)^2-2ab=a^2b^2-8ab+9
=a^2b^2-8ab+16-5=(ab-4)^2-7
那么，ab＝4时a^2+b^2的最小，且值为－7