设A是实对称矩阵,若A*A=O,证明:A=O

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 01:51:37

设A是实对称矩阵,若A*A=O,证明:A=O
设A是实对称矩阵,若A*A=O,证明:A=O

设A是实对称矩阵,若A*A=O,证明:A=O
一楼是利用实对称矩阵是正规矩阵,所以可以对角化.不过这个是相似标准型的内容,开学到现在可能还没学到这部分内容吧.
其实没那么麻烦.
你看看A*A的对角线是什么.
由于对称性,第一个对角线元素就是a11^2+a12^2+...a1n^2=0 推出第一行元素都是0
第二个对角线元素是 a21^2+a22^2+...a2n^2=0 类似.
所以,对角线元素就是A的对应行的元素的平方和.那么就知道A的所有元素都是0了.
这个有个一般性的结论,就是tr(AA’)=a11^2+a12^2+...ann^2 A的所有元素的平方和
tr表示迹,就是矩阵的对角线的元素和,A’是A的转置.上题中由于A实对称,所以A‘就是A.

因为A^2=0
所以A的特征值都是0.
又因为A是实对称矩阵, 所以存在可逆矩阵P, 使得 P^-1AP = diag(0,0,...,0) = 0
故有 A = POP^-1 = 0.

设A是实对称矩阵,若A*A=O,证明:A=O 设A为实对称矩阵,若A^2=O,则A=O 设A是n阶实对称矩阵,证明r(A)=r(A^2) 设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵设A为n阶实对称矩阵,若A的平方等于E,证明A是正交矩阵设矩阵A是n×n阶实对称矩阵,且A的平方等于0,证明A=0 若A是实对称矩阵,证明B=A^2-2A-E是实对称矩阵 a是反对称矩阵 b实对称矩阵证明a^2实对称矩阵设a、b是n阶对称矩阵,试证明a+b也是对称矩阵若A实对称矩阵,T是正交矩阵,证明T^-1AT是对称矩阵设A是实可逆对称矩阵,B是反对称矩阵且AB=BA证明A+B是可逆矩阵证明：设A是对称矩阵,C＝BTAB,证明C也是对称矩阵. 设A是n阶实对称正定矩阵,证明|A| 设A是一个3阶实对称矩阵 ,证明A的特征根都是实根设A是反对称矩阵,B是对称矩阵,证明A的平方是对称矩阵;AB-BA是对称矩阵设A是反对称矩阵,B是对称矩阵,证明:（1）A²是对称矩阵,（2）AB-BA是对称矩阵设A为n阶实对称矩阵,若A的平方=0,证明A=0