作业帮解析几何一道抛物线y^2=4x与直线l交与A,B两点,点P(4,2),若向量OA=向量BP,(O为坐标原点),则直线l的方程为答案9x+8y-26=0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 23:16:55
解析几何一道抛物线y^2=4x与直线l交与A,B两点,点P(4,2),若向量OA=向量BP,(O为坐标原点),则直线l的方程为答案9x+8y-26=0
解析几何一道
抛物线y^2=4x与直线l交与A,B两点,点P(4,2),若向量OA=向量BP,(O为坐标原点),则直线l的方程为
答案9x+8y-26=0
解析几何一道抛物线y^2=4x与直线l交与A,B两点,点P(4,2),若向量OA=向量BP,(O为坐标原点),则直线l的方程为答案9x+8y-26=0
设A(x1,y1) B(x2,y2)
因为 向量OA=向量BP
所以四边形OAPB为平行四边形
AB中点和OP中点重合
OP中点(2,1)
所以AB中点M(2,1)
A,B在抛物线上,所以
y1^2=4x1
y2^2=4x2 相减
(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2) kAB=(y1-y2)/(x1-x2) y1+y2=2 代入
2k=4 k=2
直线经过M(2,1)
直线l的方程为 y-1=2(x-2)
整理得 y=2x-3
（1）设 B（-2 2 ，0）…（1分）
则| OM + OA |+| OM - OA |=| OM + OB |+| OM - OA |=| MB |+| MA |=6
∴M 的轨迹为以 A、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆
由c=2 2 ，2a=6⇒a=3⇒b=1 …（5分）
∴M 的轨迹 C的方程为 x2 9 ...
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（1）设 B（-2 2 ，0）…（1分）
则| OM + OA |+| OM - OA |=| OM + OB |+| OM - OA |=| MB |+| MA |=6
∴M 的轨迹为以 A、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆
由c=2 2 ，2a=6⇒a=3⇒b=1 …（5分）
∴M 的轨迹 C的方程为 x2 9 +y2=1 …（6分）
（2）设直线 l 的方程为 y=kx+2（k≠0且k存在），…（7分）
由 y=kx+2 x2 9 +y2=1 得x2+9 （kx+2）2=9，
即 （1+9k2） x2+36kx+27=0 …（8分）
∴△=（36k）2-4×27 （1+9k2）＞0
即 9k2-3＞0，∴k＜- 3 3 或k＞ 3 3 （*）…（9分）
设P（x1，y1），Q（x2，y2）
∴x1+x2=-36k 1+9k2 ，x1x2=27 1+9k2 …（10分）
∵以 PQ 为直径的圆过原点，
∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0
∴（1+k2） x1 x2+2k （x1+x2）+4=0
即 27(1+k2) 1+9k2 -72k2 1+9k2 +4=0
解得k=± 31 3 满足 （*）
∴满足条件的直线 l 存在，
且直线 l 的方程为： 31 x-3y+6=0或 31 x+3y-6=0 …（12分）
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