一道解析几何在x+y=8上取一点M,过M作于焦点在横轴上(c=4根号3)双曲线共焦点的椭圆,则椭圆长轴最短时,求M的坐标.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/09 13:31:44
一道解析几何在x+y=8上取一点M,过M作于焦点在横轴上(c=4根号3)双曲线共焦点的椭圆,则椭圆长轴最短时,求M的坐标.

一道解析几何在x+y=8上取一点M,过M作于焦点在横轴上(c=4根号3)双曲线共焦点的椭圆,则椭圆长轴最短时,求M的坐标.
一道解析几何
在x+y=8上取一点M,过M作于焦点在横轴上(c=4根号3)双曲线共焦点的椭圆,则椭圆长轴最短时,求M的坐标.

一道解析几何在x+y=8上取一点M,过M作于焦点在横轴上(c=4根号3)双曲线共焦点的椭圆,则椭圆长轴最短时,求M的坐标.
根据题意,椭圆的焦点是(0,±4√3)
可以设椭圆的方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1
∵M在x+y=8上也在椭圆上,
∴当椭圆长轴最短时,根据a^2=b^2+c^2,知短轴此时也是最短,
最短时直线x+y=8与椭圆相切,
把x+y=8带入椭圆方程,得
b^2x^2+a^2(8-x)^2=a^2b^2
(b^2+a^2)x^2-16a^2x+64a^2-a^2b^2=0……※
令判别式△=256a^4+4(a^2b^2-64a^2)(a^2+b^2)=0
64a^2+(b^2-64)(a^2+b^2)=0
a^2+b^2=64……①
又∵a^2-b^2=c^2=48……②
∴a^2=56,b^2=8
此时,椭圆方程是x^2/56+y^2/8=1
将a^2和b^2的值带回※式,化简整理得
x^2-14x+49=0
∴x=7,则M是(7,1)
∴M点坐标是(7,1)

看着好简单,可是我忘了....

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