数学奇偶函数若f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且满足f(x)+g(x)=x-1分之1,求f(x)和g(x)函数解析式
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/10 07:14:34
数学奇偶函数若f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且满足f(x)+g(x)=x-1分之1,求f(x)和g(x)函数解析式
数学奇偶函数
若f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且满足f(x)+g(x)=x-1分之1,求f(x)和g(x)函数解析式
数学奇偶函数若f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且满足f(x)+g(x)=x-1分之1,求f(x)和g(x)函数解析式
∵f(x)+g(x)=1/(x-1) ①
∴f(-x)+g(-x)=1/(-x-1)=-1/(x+1) ②
而f(x)是偶函数,g(x)是奇函数
∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x)
那么②式变为:f(x)-g(x)=-1/(x+1) ③
①+③,得:2f(x)=1/(x-1)-1/(x+1)=2/(x^2-1),所以f(x)=1/(x^2-1)
①-③,得:2g(x)=1/(x-1)+1/(x+1)=2x/(x^2-1),所以g(x)=x/(x^2-1)
解 f(x)+g(x)=1/x-1 ①
f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)
所以 f(x)-g(x)=-1/x+1 ②
①+②
2f(x)=2/(x^2-1)
f(x)=1/(x^2-1)
所以g(x)=x/(x^2-1)
就用奇偶性变形之后用解方程的那种解法
f(-x)+g(-x)=-x-1分之1
也就是f(x)-g(x)=-x-1分之1
上面的等式与题目当中的等式相加,就可以得到f(x)的函数解析式
两个等式相减,就可以得到g(x)的函数解析式
f(x)+g(x)=1/(x-1).........a
用-x取代x
f(-x)+g(-x)=1/(-x-1)
因f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数
f(x)-g(x)=1/(-x-1)......b
a+b得
f(x)=2/(x-1)(x+1)
则g(x)=(x-1)/(x-1)(x+1)