作业帮抛物线y²=4x焦点的直线交抛物线于AB两点,已知∣AB∣=8,O为坐标原点,则三角形OAB的重心横坐标为?AB斜率?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 21:25:49
抛物线y²=4x焦点的直线交抛物线于AB两点,已知∣AB∣=8,O为坐标原点,则三角形OAB的重心横坐标为?AB斜率?
抛物线y²=4x焦点的直线交抛物线于AB两点,已知∣AB∣=8,O为坐标原点,则三角形OAB的重心横坐标为?AB斜率?
抛物线y²=4x焦点的直线交抛物线于AB两点,已知∣AB∣=8,O为坐标原点,则三角形OAB的重心横坐标为?AB斜率?
抛物线y^2=4x
2p=4 p/2=1
所以焦点为(1,0) 准线为 x=-1
过焦点的直线设为 y=k(x-1)
设A(x1,y1) B(x2,y2)
x1>0 x2>0
∣AB∣=8
由抛物线的定义得
|AB|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=8
所以x1+x2=6
将(1)代入抛物线方程得
k^2(x-1)^2=4x
k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0
x1+x2=(2k^2+4)/k^2=6
所以k^2=1
k=±1
AB中点的横坐标=(x1+x2)/2=3
由重心的特性得
重心的横坐标为x=2
AB斜率K=±1
抛物线焦点为（1，0）
设直线AB为y=kx-k,A(x1,y1),B(x2,y2)，中心M（x0,y0),AB中点为N（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
AB²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=(k²+1)(x1-x2)²
将直线AB代入抛物线方程
k²x²-2k²x-4x...
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抛物线焦点为（1，0）
设直线AB为y=kx-k,A(x1,y1),B(x2,y2)，中心M（x0,y0),AB中点为N（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
AB²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=(k²+1)(x1-x2)²
将直线AB代入抛物线方程
k²x²-2k²x-4x+k²=0
x1+x2=(2k²+4)/k²,x1x2=1
(x1-x2)²=[(2k²+4)/k²]²-4=(16k²+16)/k^4
则16（k²+1)²/k^4=64
3k^4-2k²-1=0
k²=1,(k²=-1/3舍去）
则x1+x2=(2k²+4)/k²=6
由重心的特点可知OM=2MN
则(0-x0）/[x0-（x1+x2)/2]=2
则-x0/（x0-3）=2
x0=2
则重心的横坐标为x=2，AB斜率K=±1
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