作业帮已知f(x)=x^4-x^3-7x^2+13x-6.x-1、x-2、x+3都是f(x)的一个因式,求证f(x)能被(x-1)(x-2)(x+3)整除.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 03:25:26
已知f(x)=x^4-x^3-7x^2+13x-6.x-1、x-2、x+3都是f(x)的一个因式,求证f(x)能被(x-1)(x-2)(x+3)整除.
已知f(x)=x^4-x^3-7x^2+13x-6.x-1、x-2、x+3都是f(x)的一个因式,求证f(x)能被(x-1)(x-2)(x+3)整除.
已知f(x)=x^4-x^3-7x^2+13x-6.x-1、x-2、x+3都是f(x)的一个因式,求证f(x)能被(x-1)(x-2)(x+3)整除.
本题根据整除的性质解题
∵(x-1)(x-2)互质
∴(x-1)(x-2)|f(x)
设k(x+3)=f(x)
(x-1)(x-2)|k(x+3)
∴(x-1)(x-2)与(x+3)互质
∴(x-1)(x-2)(x+3)|f(x)
x-1、x-2、x+3都是f(x)的一个因式
说明能写成
f（x）=a（x-1）（x-2）（x+3） （a是一个常数）
所以f(x)能被(x-1)(x-2)(x+3)整除.
(x-1)(x-2)(x+3)=(x^2-3x+2)(x+3)=x^3-7x+6
用竖式运算、
x-1
__________________
x^3-7x+6 |x^4-x^3-7x^2+13x-6
x^4 -7x^2+ 6x<...
全部展开
(x-1)(x-2)(x+3)=(x^2-3x+2)(x+3)=x^3-7x+6
用竖式运算、
x-1
__________________
x^3-7x+6 |x^4-x^3-7x^2+13x-6
x^4 -7x^2+ 6x
____________________
-x^3 +7x-6
-x^3 +7x-6
________________
0
可见结论
楼上的做法其实也成！不过如果f（x）=(x+1/2)（x-1）（x-2）（x+3）恐怕就有点问题
收起