作业帮两个线性代数的证明题证明：若向量组a1,a2,a3,...am线性无关,a1,a2,a3,...am,b线性相关,则b可由a1,a2,a3,...am唯一的线性表出!证明：设有向量组a1,a2,a3,a4,若R（a1,a2,a3,a4）>R（a1,a2,a3）则必有R（a1,a2,a3,a4
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 18:21:10
两个线性代数的证明题证明：若向量组a1,a2,a3,...am线性无关,a1,a2,a3,...am,b线性相关,则b可由a1,a2,a3,...am唯一的线性表出!证明：设有向量组a1,a2,a3,a4,若R（a1,a2,a3,a4）>R（a1,a2,a3）则必有R（a1,a2,a3,a4
两个线性代数的证明题
证明：若向量组a1,a2,a3,...am线性无关,a1,a2,a3,...am,b线性相关,则b可由a1,a2,a3,...am唯一的线性表出!
证明：设有向量组a1,a2,a3,a4,若R（a1,a2,a3,a4）>R（a1,a2,a3）则必有
R（a1,a2,a3,a4）=R（a1,a2,a3）+1
两个线性代数的证明题证明：若向量组a1,a2,a3,...am线性无关,a1,a2,a3,...am,b线性相关,则b可由a1,a2,a3,...am唯一的线性表出!证明：设有向量组a1,a2,a3,a4,若R（a1,a2,a3,a4）>R（a1,a2,a3）则必有R（a1,a2,a3,a4
(1)
a1,a2,a3,...am,b线性相关,因此存在不全为零的数k1,k2,...,km,l,使得
k1*a1+k2*a2+...+km*am+l*b＝0
易得其中l一定不等于0,（因为若l=0,代入上式,则存在不全为零的数k1,k2,...,km,使得k1*a1+k2*a2+...+km*am＝0,即a1,a2,a3,...am线性相关,与题意矛盾.）
于是可以将等式两边同时除以l:
b=-(k1/l)*a1-(k2/l)*a2-...-(km/l)*am
这样就把b用a1...am表示出来了.
再证明表示是唯一的：
若b有两种表示：
b=p1*a1+p2*a2+...+pm*am
b=q1*a1+q2*a2+...+qm*am
（pi和qi不全相等）
则有：
(p1-q1)*a1+(p2-q2)*a2+...+(pm-qm)*am=0
即a1,a2,a3,...am线性相关,与题意矛盾.故表示方法唯一.
（2）
考察“a4能否由a1,a2,a3表示出”
若能,则R（a1,a2,a3,a4）＝R（a1,a2,a3）,与题意矛盾.
故a4不能否由a1,a2,a3表示出.
设（a1,a2,a3）的极大无关组为A
则（a1,a2,a3,a4）的极大无关组为（A,a4）
所以R（a1,a2,a3,a4）=R（a1,a2,a3）+1