高等数学微分中值定理的应用证明方程x^5+x-1=0只有一个根

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 14:48:48

高等数学微分中值定理的应用证明方程x^5+x-1=0只有一个根
高等数学微分中值定理的应用
证明方程x^5+x-1=0只有一个根

高等数学微分中值定理的应用证明方程x^5+x-1=0只有一个根
1、有根：
设f(x)＝x^5＋x－1,则f(x)在[0,1]上连续,f(0)＜0,f(1)＞0,所以由零点定理,f(x)在(0,1)内有零点ξ,即方程x^5＋x－1＝0有根ξ
2、根唯一
设方程还有一个根η,η≠ξ,不妨假设η＞ξ,则在[ξ,η]上使用罗尔定理,存在ζ∈(ξ,η),使f'(ζ)＝0.而f'(x)＝5x^4+1＞0.矛盾
所以方程只有一根

对f(x)=x^5+x-1求导得
f`(x)=5x^4+1>0，则f（x）在实数域内单调递增
又因为f（x）在正负无穷大的两处分别是正负无穷大，
所以f(x)与x轴只有一个交点，
即方程x^5+x-1=0只有一个根

我用手机答的，不好写，我告诉你思路：对左边求导得出该导数恒大于零，所以左边在实数范围内是单调增加的，再对左边取x趋于正无穷求极限，得左边的极限是正无穷；同理，x趋于负无穷时，左式则趋于负无穷。由零值定理知左式必与x轴有唯一交点，即证....

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我用手机答的，不好写，我告诉你思路：对左边求导得出该导数恒大于零，所以左边在实数范围内是单调增加的，再对左边取x趋于正无穷求极限，得左边的极限是正无穷；同理，x趋于负无穷时，左式则趋于负无穷。由零值定理知左式必与x轴有唯一交点，即证.

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左面求导大于0 且当x=0时左面小于0 取1的时候大于0 所以有且是有一个跟

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