作业帮求大神把线性代数梳理一下!.什么行列式,实对称矩阵,正交等等.我已经彻底乱了、、、
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 01:52:57
求大神把线性代数梳理一下!.什么行列式,实对称矩阵,正交等等.我已经彻底乱了、、、
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按照我的理解来给你梳理吧：
大多数线代的教材（除了虐我的清华版教材之外……）,一开头要么讲矩阵,要么讲行列式.矩阵是什么你总明白吧?直观上说就是把数排成一个方块就叫矩阵了.矩阵的每一列呢,又可以看成一个个的向量,所以矩阵又可以看成一排“列向量”组成的东西.
A=[a1,a2,...,an],其中a1,a2,...,an都是列向量.
既然矩阵可以看成向量组,而向量组是可以讲线性相关和无关的.相不相关的意义你应该懂吧?比方说我们常见的墙角就是由三个不相关（而且是正交）的向量组成的.要是一组向量线性相关了,肯定其中有一个向量,能用别的向量加加减减给表示出来.比方说我在平面上随便画三个向量,它们肯定是相关的.因为平面的维数只有两维,最多只有两个不相关的向量.
现在说回到矩阵.我们说矩阵是由一组列向量构成的.如果这些列向量不相关呢,就说矩阵满秩了.什么叫秩呢?就是说你从一堆向量里边,最多选出多少个,保证它们不相关.这个“最多选出多少个”就叫做向量组的秩,同样也可以叫矩阵的秩.
矩阵满秩是有很多好处的.要是碰巧是一个满秩的方阵（就是长度等于宽度啦）,就更好了,我们就说这个矩阵可逆了.可逆有什么好处呢?比方说,我们常见的代数方程Ax=b就肯定有唯一解x=A^-1 b了.另一方面,矩阵又可以看成一个“线性映射”,比方说刚才那个Ax=b,你可以看成我用矩阵A把一个向量x变换成了向量b.映射懂不懂?映射就是函数,线性映射就是线性的函数.如果一个矩阵可逆的话,这个映射就能保证,对每一个向量b,都能找到唯一的原象x.
可逆既然那么好,我们怎么判断一个矩阵是否可逆呢?答案就是行列式.行列式是一种运算,给我一个方矩阵,我就能算出一个数.如果这个数是零,说明矩阵不可逆；如果这个数不是零,矩阵就可逆了.行列式的运算方法比较复杂,还有很多技巧,自己去看书吧.行列式的几何意义,是矩阵的那些列向量组成的多面体的体积.比如说在两维平面上,行列式就是两向量组成的平行四边形的面积,要是它们相关,就是共线了,那么这个平行四边形面积肯定是零,很容易理解吧?
然后一般的书应该开始讲特征值了.特征值是什么东西?就是Ax=cx,c是一个常数（书上一般用lamda,但我打字不方便,就先用c）.这个c叫做特征值,满足这个方程x叫做特征向量.求一个给定矩阵的特征值与特征向量的方法,书上都有,而且基本是固定的,自己去看.
为啥要求矩阵的特征值呢?刚才说了,矩阵可以看作是一个线性变换,把一个X空间中的向量映到Y空间上.对于同一个映射,我在X当中取一组基（就是像墙角一样的东西）,在Y中取一组基,那么就能算出一个矩阵A.如果取不同的基,算出的矩阵就不同,但是,这些矩阵都是相似的!比如说A和B相似,就会有A=C*B*C^-1,C是个正交阵.什么是正交?简单地说就是这个阵的逆就是它的转置,或者说这个阵的列向量都是彼此正交的（内积为零）,通俗地说还是墙角所以没事就多盯着墙角看看吧少年.那么我们就想问,怎么取这两组基,会使得矩阵的形式最简单呢?答案就是相似标准形,就是我们说的对角化的过程.
可以证明,实对称矩阵都是可对角化的（所以实对称阵真的很好啊）.你说什么叫实对称?呃,就是“实”的,而且“对称”（A=A^T)的呗……这种矩阵在二次型当中很常用的.所以给一个实对称阵A,我们总能求它的相似标准型（也就是对角化啦）,最后算出一个A=B*C*B^-1,C是个对角的,其对角元是A的特征值.是不是随便给一个矩阵都能对角化?答案是否定的.世界当然没那么美好,人生总是充满了缺憾.
我觉得一般的线代书讲到这个程度就差不多了,某些深一点的书还会讲相合变换.要是有什么不明白的地方,欢迎追问.