作业帮数论 证明 Fibonacci 2定义 L(1)=1L(n)=F(n+1)+F(n+2)F(n)表示第n个Fibonacci数证明F(2n)=F(n)*L(n)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 06:28:40
数论 证明 Fibonacci 2定义 L(1)=1L(n)=F(n+1)+F(n+2)F(n)表示第n个Fibonacci数证明F(2n)=F(n)*L(n)
数论 证明 Fibonacci 2
定义 L(1)=1
L(n)=F(n+1)+F(n+2)
F(n)表示第n个Fibonacci数
证明F(2n)=F(n)*L(n)
数论 证明 Fibonacci 2定义 L(1)=1L(n)=F(n+1)+F(n+2)F(n)表示第n个Fibonacci数证明F(2n)=F(n)*L(n)
定义 L(1)=...,L(n)=...
F(n)表示第n个Fibonacci数
证明F(2n)=F(n)*L(n)
题目有点问题,以下沿着题意的思路解答,并给出正确的描述.
拙文:
由递推式求通项-特征值法原理-广义fibonacci数列f(n)=f(n-1)*p+f(n-2)*q
评论14楼,15楼中提到求通项(给出了特征值法的原理,注意两个特征根的对称性列出两个对称的式子,立即得到通项)：
Fibonacci数列{fn}满足递推关系:
(f0=0,) f1=1,f2=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2),n>=3.
Fibonacci数列的通项(过程见(***))
fn=(r^n-s^n)/(r-s),
其中r,s=(1±√5)/2,附:r-s=√5
由通项得到：
f(2n)/fn=r^n+s^n=L(n)
这里的L(n)实质是两类lucas数列中的一类,由lucas序列的通项定义立即看出.
我这里略作严格的表述）
xx-px+q=0,a,b是其正负根.
定义卢卡斯数列为：
Un(P,Q) = (a^n - b^n)/(a-b)
Vn(P,Q) = a^n + b^n
其递推定义也可以在上面的网页中找到,略复杂,但便于计算.如果利用矩阵,也很容易描述.递推式与通项可以容易的转化.证明也容易,略去.
从该网页中还可以看到,fibonacci数列,lucas序列事实上可以统一.一般称为广义lucas序列.
作为对fibonacci数列的推广,其中的Un也可以称为广义fibonacci数列；或者,在特别情况下,将广义的lucas序列和广义的fibonacci序列二术语等同也无妨.
而题目中的性质,对于lucas序列,也有类似的性质.
以下给出相关数据及列表
{Vn;n=0,1,...}
=2、 1、 3、 4、 7、 11、18、 29、 47、 76、 123、 199、 322、 521、 843、 1364、 2207、 3571、 5781、 9349 、...
可以验证：
fn f(2n) V(n) ;n=0,1,2,...
0 0 2
1 1 1
1 3 3
2 8 4
3 21 7
5 55 11
8 144 18
13 377 29
21 987 47
34 2584 76
同意题目有误，F(n+1)+F(n+2)=F(n+3)
F(2n)=F(n)*F(n+3)，与L（n）关系？？？？
可能是限制条件n>3(或其他)，用第一数学归纳法证明应该行吧！
此题有误，n>3也不行。我用矩阵法最终发现两边不可能相等。 建议楼主使用矩阵来做，非常简单（如图）。
题目是否有误？？？
取n=2;
F(4)=3;F(2)=1;L(2)=F(3)+F(4)=5;
显然不符合！！！