作业帮求曲线x平方+y平方+z平方-2x=4和x+y+z=0在点(1,1,-2)处的切线及法平面方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 08:57:46
求曲线x平方+y平方+z平方-2x=4和x+y+z=0在点(1,1,-2)处的切线及法平面方程
求曲线x平方+y平方+z平方-2x=4和x+y+z=0在点(1,1,-2)处的切线及法平面方程
求曲线x平方+y平方+z平方-2x=4和x+y+z=0在点(1,1,-2)处的切线及法平面方程
设F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2x -4 G(x,y,z)=x+y+z
∂F/∂x=2x-2 ∂F/∂y=2y ∂F/∂z=2z
则 n1=(0,2,-4)
∂G/∂x=1 ∂G/∂y=1 ∂G/∂z=1
则 n2=(1,1,1)
所以：
| i j k |
n= | 0 2 -4 | =(6,4,-2)
| 1 1 1 |
法平面方程：6(x-1)+4(y-1)-2(z+2)=0
即；6x+4y-2z-14=0
先对已知方程的两边对x求导，得2x+2ydy/dx+2zdz/dx-2=0;1+dy/dx+dz/dx=0;联立解得dz/dx=(y-x+1)/(z-y)
dy/dx=(x-z-2)/(z-y);由此有dy/dx|(1,1,-2)=-1/3,dz/dx|(1,1,-2)=-1/3,从而法向量为（1，-1/3,-1/3）故切线方程为（x-1）/1=(y-1)/-1/3=(z+2)/-1/3;...
全部展开
先对已知方程的两边对x求导，得2x+2ydy/dx+2zdz/dx-2=0;1+dy/dx+dz/dx=0;联立解得dz/dx=(y-x+1)/(z-y)
dy/dx=(x-z-2)/(z-y);由此有dy/dx|(1,1,-2)=-1/3,dz/dx|(1,1,-2)=-1/3,从而法向量为（1，-1/3,-1/3）故切线方程为（x-1）/1=(y-1)/-1/3=(z+2)/-1/3;法平面方程为（x-1）+-1/3(xy-1)+-1/3(z+2)=0
收起
可以先求出点在第一个曲面处的切平面，再和第二个曲面联立，即得
由x^2+y^2+z^2-2x=4知，该曲面是球面，球心是（1,0，0）
在（1,1，-2）处的法向量是（0,1，-2）
所以在球面处的切面方程是0（X-1）+1（Y-1）-2（Z+2）=0
切线方程是Y-2Z=5和X+Y+Z=0