非齐次线性方程组的解向量个数的问题已知条件：A是3*4非零矩阵,α1,α2,α3,α4是AX=b的线性无关的解.这个已知条件本身有没有问题?理由如下：由已知条件有 1a1377051，我把极大无关组定义没弄

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 11:29:44

非齐次线性方程组的解向量个数的问题已知条件：A是3*4非零矩阵,α1,α2,α3,α4是AX=b的线性无关的解.这个已知条件本身有没有问题?理由如下：由已知条件有 1a1377051，我把极大无关组定义没弄
非齐次线性方程组的解向量个数的问题
已知条件：A是3*4非零矩阵,α1,α2,α3,α4是AX=b的线性无关的解.
这个已知条件本身有没有问题?
理由如下：由已知条件有 1
a1377051，我把极大无关组定义没弄清？问下：极大无关组定义中的一组向量是预先给定的吧，比如一个4维向量组α1，α2，α3，α4秩为3，但α1，α2，α3，α4，β秩可能为4？

非齐次线性方程组的解向量个数的问题已知条件：A是3*4非零矩阵,α1,α2,α3,α4是AX=b的线性无关的解.这个已知条件本身有没有问题?理由如下：由已知条件有 1a1377051，我把极大无关组定义没弄
你是错了.AX＝b……①
对应的齐次组为AX＝0……②
②的基础解系如果为α1.α2,α3.①的一个特解设为β.
则①的通解为X＝C1α1+C2α2+C3α3+β.（C1,C2,C3为任意常数）.
现在取（C1,C2,C3）为（000）,（100）,（010）,（001）可得②的四个β,α1+β,α2+β,α3+β.
请songsong_id 自己证明,这四个解是线性无关的（按定义直接证明）.有时也把①的任意（r+1）个（这里是四个）无关解叫①的基础解系.它的意思是：①的全部解都可以表示为这四个解的线性组合（可以验证:组合系数的和为1）.反过来,这四个解的任意线性组合,只要组合系数的和为1,都是①的解.（请songsong_id 自验以上结果）.
顺便说一句,这一说法通常只在数学系的线性代数课程中提到,其他专业不太熟悉是很自然的.

条件没有问题. 非齐次方程的解与对应的齐次方程的基础解系是线性无关的，也就是说非齐次方程Ax＝b的解向量组成的向量组的秩＝n－秩(A)＋1，n是未知数个数.记得同济版线性代数课后有相关的习题.
对于本题来说，秩(A)＝1时，Ax＝b就可以找到四个线性无关的解.
例如，A＝
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
向量b＝(1,0,0,0)T，...

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简单描述学过线代应该能看懂
4个未知数 r=3
解=齐通+非齐特
齐只有3个解向量即a1-a2,a2-a3,a3-a4是其中一个最大的无关组
题没错但必须知道最多也只能找到4个无关解
若有5个则a1-a2,a2-a3,a3-a4是其中一个最大的无关组必能表示出a4-a5
即可用a1-a2,a2-a3,a3-a4与a4表示出a5 ...

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由于A是3*4非零矩阵,所以,如果非齐次线性方程组AX=b,那必定有无穷多组解,其中必然能找到4个线性无关解,比如令A为1 1 1 1 B为1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
则AX=b对应的齐次方程AX=0的通解为...

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由于A是3*4非零矩阵,所以,如果非齐次线性方程组AX=b,那必定有无穷多组解,其中必然能找到4个线性无关解,比如令A为1 1 1 1 B为1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
则AX=b对应的齐次方程AX=0的通解为K -1 +L -1+M -1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
而Ax=b有特解1
0
0
0
所以Ax=b通解1 -1 -1 -1
0 1 0 0
0+K 0+L 1+M 0
0 0 0 1
分别令K 1 0 0 0
L 为0 1 0 0
M 0 0 1 0
可得α1，α2，α3，α4为0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0 (α1，α2，α3，α4线性无关)
0 0 1 0

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