作业帮123的23次方加124的24次方加125的25次方除以3所得的余数是几
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 12:29:38
123的23次方加124的24次方加125的25次方除以3所得的余数是几
123的23次方加124的24次方加125的25次方除以3所得的余数是几
123的23次方加124的24次方加125的25次方除以3所得的余数是几
123^23=(3×41)^23 是3的倍数,除以3的余数是0
124^24=(3×41+1)^24 展开成关于3×41与1的多项式,其中只有1^24没有3的因子,因此124^24除以3的余数是1
125^25=(3×42-1)^25 展开成关于3×42与-1的多项式,其中只有(-1)^25没有3的因子,因此125^25除以3的余数是-1,或者说是2
那么123^23+124^24+125^25除以3的余数是0
123的23次方加124的24次方加125的25次方除以3所得的余数
=[(123除以3所得的余数)的23次方加(124除以3所得的余数)的24次方加(125除以3所得的余数)的25次方]除以3所得的余数
=[0^23+1^24+(-1)^25]除以3所得的余数
=0
1
（123^23+124^24+125^25)%3
=[(123%3)^23+(124%3)^24+(125%3)^25]%3
=(0^23+1^24+2^25)%3
=(1+2^25)%3
=(1+4^12*2)%3
=(1+16^6*2)%3
=[1%3+(16%3)^6*(2%3)]%3
=(1+1^6*2)%3
=(1+1*2)%3
=(1+2)%3
=3%3
=0
(123^23+124^24+125^25)/3
其中：123^23/3=41*123^22……0
124^24/3=124^23*124/3=(41+1/3)*124^23=41*124^23+(124^23)/3=41*124^23+124^22*124/3=41*124^23+(41+1/3)*124^22=41*124^23+41*124^22+(12...
全部展开
(123^23+124^24+125^25)/3
其中：123^23/3=41*123^22……0
124^24/3=124^23*124/3=(41+1/3)*124^23=41*124^23+(124^23)/3=41*124^23+124^22*124/3=41*124^23+(41+1/3)*124^22=41*124^23+41*124^22+(124^22)/3=41*124^23+41*124^22+…+41*124^2+41*124+124/3（前面所有项是除3后得的整数，只有最后一项124/3除不尽，余数是1）
同理 125^25/3=125^24*125/3=（42-1/3)*125^24=42*125^24-(125^24)/3=42*125^24-(42-1/3)*125^23=42*125^24-42*125^23+(125^23)/3=42*125^24-42*125^23-…-42*125^2-42*125+125/3（前面所有项是除3后得的整数，只有左后一项125/3除不尽，余数是2）
41*124^2+41*124+124/3（前面所有项是除3后得的整数，只有124/3除不尽，余数是1
所以 (123^23+124^24+125^25)/3
=41*123^22+41*124^23+41*124^22+…+41*124^2+41*124+124/3+42*125^24-42*125^23-…-42*125^2-42*125+125/3
除124/3和125/3有余数外，其余均为整数。这两个余数相加等于3，正好被3整除，所以该命题余数等于0.
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