求这个级数的和函数x^n / n(n+1)(n+2) n从1到无穷

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 17:44:48
求这个级数的和函数x^n / n(n+1)(n+2) n从1到无穷

求这个级数的和函数x^n / n(n+1)(n+2) n从1到无穷
求这个级数的和函数
x^n / n(n+1)(n+2) n从1到无穷

求这个级数的和函数x^n / n(n+1)(n+2) n从1到无穷

  f(x) = Σ(n=1~inf.)[(x^n)/n(n+1)(n+2)],-1

1、由题可知
an=x^n / n(n+1)(n+2) =1/2* x^n *{[(1/n-1/(n+1)]-[(1/(n+1)-1/(n+2)]}
同理
an-1=1/2*x^(n-1) *{[(1/(n-1)-1/n]-[(1/n-1/(n+1)]}
an-2=1/2*x^(n-2) *{[(1/(n-2)-1/(n-1)]-[(1/(n-1)-1/n]}

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1、由题可知
an=x^n / n(n+1)(n+2) =1/2* x^n *{[(1/n-1/(n+1)]-[(1/(n+1)-1/(n+2)]}
同理
an-1=1/2*x^(n-1) *{[(1/(n-1)-1/n]-[(1/n-1/(n+1)]}
an-2=1/2*x^(n-2) *{[(1/(n-2)-1/(n-1)]-[(1/(n-1)-1/n]}
......
a2=1/2*x^2 *{[(1/2-1/3]-[(1/3-1/4]}
a1=1/2*x^1 *{[(1-1/2]-[(1/2-1/3]}
2、那么和函数
Sn=a1+a2+...1+an =1/2*x^1 *{[(1-1/2]-[(1/2-1/3]}+1/2*x^2 *{[(1/2-1/3]-[(1/3-1/4]}+...+1/2*x^n *{[(1/n-1/(n+1)]-[(1/(n+1)-1/(n+2)]}
左右各乘以x
x*Sn= =1/2*x^2 *{[(1-1/2]-[(1/2-1/3]}+1/2*x^3 *{[(1/2-1/3]-[(1/3-1/4]}+...+1/2*x^(n+1) *{[(1/n-1/(n+1)]-[(1/(n+1)-1/(n+2)]}
因此Sn-x*Sn=(1-x)*Sn=1/2*x^1 *{[(1-1/2]-[(1/2-1/3]}+1/2*x^2 *(1-1/2)-1/2*x^n*[(1/n-1/(n+1)]+1/2*x^(n+1) *{[(1/n-1/(n+1)]-[(1/(n+1)-1/(n+2)]}
所以Sn=1/2*{x/3+x^2/2+x^n*[(1/n-1/(n+1)]+x^(n+1) *{[(1/n-1/(n+1)]-[(1/(n+1)-1/(n+2)]} }/(1-x)

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