ABCD四面体内接于半径为2的球中,其中AB=CD,求四面体最大体积?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 08:22:40
ABCD四面体内接于半径为2的球中,其中AB=CD,求四面体最大体积?

ABCD四面体内接于半径为2的球中,其中AB=CD,求四面体最大体积?
ABCD四面体内接于半径为2的球中,其中AB=CD,求四面体最大体积?

ABCD四面体内接于半径为2的球中,其中AB=CD,求四面体最大体积?
一定是正四面体.设正四面体的棱长为a,则体积为：√2a^3/12,：外接圆半径为√6a/4,所以求出体积为：64倍的根号3除以27

这题怎么这么熟悉？楼主会不会漏了个AB=CD=2?
首先说明一个结论：该四面体ABCD的体积=(1/6)×AB×CD×l×sinα(α为异面直线AB和CD所成角，l为AB和CD的公垂线长度)。
那么，显然AB×CD×l×sinα最大时，四面体体积最大。
那么，显然AB和CD要相互垂直，且AB中点E，O，CD中点F三点共线。
设AB=CD=2a(0<2a<4,即0

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这题怎么这么熟悉？楼主会不会漏了个AB=CD=2?
首先说明一个结论：该四面体ABCD的体积=(1/6)×AB×CD×l×sinα(α为异面直线AB和CD所成角，l为AB和CD的公垂线长度)。
那么，显然AB×CD×l×sinα最大时，四面体体积最大。
那么，显然AB和CD要相互垂直，且AB中点E，O，CD中点F三点共线。
设AB=CD=2a(0<2a<4,即0则此时体积为(1/6)×4×a^2×2×根号(4-a^2)=(4/3)×a^2×根号(4-a^2).
设t=根号(4-a^2)∈(0,2),则V=(4/3)×t×(4-t^2).
然后你求导也好，用别的方法也好，可求出V的最大值为 (64×根号3)/27,此时a=(2×根号6)/3.
其实这个时候，ABCD就是正四面体。
这就是圆内接四面体中正四面体体积最大的证明。

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