作业帮求一个高三函数题的解法已知：函数f(x),满足 f(1)=1>f(-1)且有 f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)（1） 求：f(-1),f(3)的值（已解决）（2） 求：1/2f(1-6x)+[f(3x)}^2的值.（2） 求：0.5f(1-6x)+[f(3x)}^2的值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 16:14:04
求一个高三函数题的解法已知：函数f(x),满足 f(1)=1>f(-1)且有 f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)（1） 求：f(-1),f(3)的值（已解决）（2） 求：1/2f(1-6x)+[f(3x)}^2的值.（2） 求：0.5f(1-6x)+[f(3x)}^2的值
求一个高三函数题的解法
已知：函数f(x),满足 f(1)=1>f(-1)且有 f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)
（1） 求：f(-1),f(3)的值（已解决）
（2） 求：1/2f(1-6x)+[f(3x)}^2的值.
（2） 求：0.5f(1-6x)+[f(3x)}^2的值
求一个高三函数题的解法已知：函数f(x),满足 f(1)=1>f(-1)且有 f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)（1） 求：f(-1),f(3)的值（已解决）（2） 求：1/2f(1-6x)+[f(3x)}^2的值.（2） 求：0.5f(1-6x)+[f(3x)}^2的值
(1)
f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1)
令y=x,则f(1)=1=[f(x)]^2+[f(x-1)]^2————注意此式,很重要.
于是,[f(1)]^2+[f(0)]^2=1=>f(0)=0；
[f(0)]^2+[f(-1)]^2=1=>f(-1)=-1（因为f(-1)f(2)=0,
所以f(3)=f(2-0+1)=-1.
综上,f(-1)=-1,f(3)=-1.
(2)
由于[f(-1)]^2+[f(-2)]^2=1,所以f(-2)=0.
而f(-x)=f(-1-x+1)=f(x)f(-1)+f(x-1)f(-2)=-f(x),故f(x)是奇函数.
并且,易知f(y+1)=f(y-0+1)=f(0)f(y)+f(-1)f(y-1)=-f(y-1).
那么我们可以进行计算了.
f(1-6x)
=f(-3x-3x+1)
=f(3x)f(-3x)+f(3x-1)f(-3x-1)
=-[f(3x)]^2-f(3x-1)f(3x+1)
=-[f(3x)]^2+[f(3x-1)]^2
因此,0.5f(1-6x)+[f(3x)]^2
=-0.5[f(3x)]^2+0.5[f(3x-1)]^2+[f(3x)]^2
=0.5[f(3x)]^2+0.5[f(3x-1)]^2
=0.5{[f(3x)]^2+[f(3x-1)]^2}；
但是,对于任意的x,[f(x)]^2+[f(x-1)]^2=1.
因此我们所求的式子等于0.5.
这个真不好做……关系很复杂.
题外话：
由(1)易知,[f(2n+1)]^2=1,故f(2n)=0,n为整数（可以用归纳法证明）.
因为f(2n+1)=f(2n-0+1)=f(2n)f(0)+f(2n-1)f(-1)=-f(2n-1),
所以f(2n+1)=(-1)^n.
于是,我们得到了f(x)在一切整数点的值.