初中的,圆的证明已知圆O的直径PQ,两条弦PA、QB相交于圆内一点M,分别过点A和B作圆O的两切线,两条切线点是N,连接MN .求证：MN⊥PQ

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 19:47:47

初中的,圆的证明已知圆O的直径PQ,两条弦PA、QB相交于圆内一点M,分别过点A和B作圆O的两切线,两条切线点是N,连接MN .求证：MN⊥PQ
初中的,圆的证明
已知圆O的直径PQ,两条弦PA、QB相交于圆内一点M,分别过点A和B作圆O的两切线,两条切线点是N,连接MN .求证：MN⊥PQ

初中的,圆的证明已知圆O的直径PQ,两条弦PA、QB相交于圆内一点M,分别过点A和B作圆O的两切线,两条切线点是N,连接MN .求证：MN⊥PQ
请参考我的空间一文：
http://hi.baidu.com/jswyc/blog/item/acaa5ece9118123af9dc611b.html
注意字母的标注可能不同.确有疑问发消息给我.
已知MN是圆O的直径,弦MA、NB相交于圆内一点C,分别过A、B作圆的切线,两条切线交于点D,连接CD .求证：CD⊥MN
http://zhidao.baidu.com/question/81203830.html
证明：
连接MB、NA并延长MB、NA交于点E,连接EC并延长交MN于Q,过A作切线交CE于P
因为MN是直径
所以AM⊥EN,BN⊥ME,即AM、BN是△EMN的两条高
所以∠ACE＋∠AEC＝90°,即∠NEQ＋∠ACP＝90°
根据“三角形三条高交于一点”的性质知EQ也是△EMN的高,即EQ⊥MN
所以∠NEQ＋∠ENM＝90°
所以∠ACP＝∠ENM
因为AP是切线
所以∠PAM＝∠ENM,即∠PAC＝∠ENM
所以∠ACP＝∠PAC
所以PC＝PA
因为∠PAE＋∠PAC＝90°,即∠PEA＋∠PCA＝90°
所以∠PAE＝∠PEA
所以PA＝PE
所以P是CE的中点
同样地,如果过B作圆的切线交CE于点H,可以证明H也是CE的中点
即过A、B所作圆的切线都经过CE的中点
所以点D就是CE的中点,即点D在EQ上
因为EQ⊥MN
所以CD⊥MN
（如果要知道如何证明三角形性质：“三角形三条高交于一点”,请参考：
http://hi.baidu.com/jswyc/blog/item/f6849e7fafcc1c3f0cd7da88.html）
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