作业帮怎样证明2的99次方+3的99次方能被7整除?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 02:04:30
怎样证明2的99次方+3的99次方能被7整除?
怎样证明2的99次方+3的99次方能被7整除?
怎样证明2的99次方+3的99次方能被7整除?
二项式展开学过的话就简单了
2^99 + 3^99
= 8^33 + 27^33
= (1+7)^33 + (-1 + 28)^33
= (1 + 33·7 + ...+ 7^33) + (-1 + 33·28 - ...+ 28^33)
= (33·7 + ...+ 7^33) + (33·28 - ...+ 28^33)
这里的每一项都含有7或28,能被7整除,所以2^99 + 3^99能被7整除
还有一种方法：
2^99 + 3^99
= 8^33 + 27^33
而x^33 + y^33能被(x+y)整除 (当n为奇数的时候,x^n+y^n都含有因式x+y)
所以2^99 + 3^99能被35整除,所以能被7整除
2的若干次方被7除的余数依次是：
2，4，1，2，4，1……
99÷3=33
因此2的99次方被7除余1
3的若干次方被7除的余数依次是：
3，2，6，4，5，1，3，2，6，4，5，1……
99÷6=16……3
因此3的99次方被7除余6
因此2的99次方+3的99次方能被7整除...
全部展开
2的若干次方被7除的余数依次是：
2，4，1，2，4，1……
99÷3=33
因此2的99次方被7除余1
3的若干次方被7除的余数依次是：
3，2，6，4，5，1，3，2，6，4，5，1……
99÷6=16……3
因此3的99次方被7除余6
因此2的99次方+3的99次方能被7整除
收起
2^99+3^99
=(2^33+3^33)(2^66-6^33+3^66)
=(2^11+3^11)(2^22-6^11+3^22)(2^66-6^33+3^66)
(2^22-6^11+3^22)=4194303-362797056+31381059609=31022456857可以被7整除
所以2^99+3^99可以被7整除