作业帮已知点P(1,27^0.5）,圆C：x^2 + y^2 =16.问：(1).过P点的直线交圆C于A,B两点,求线段AB的中点的轨迹
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 05:37:52
已知点P(1,27^0.5）,圆C：x^2 + y^2 =16.问：(1).过P点的直线交圆C于A,B两点,求线段AB的中点的轨迹
已知点P(1,27^0.5）,圆C：x^2 + y^2 =16.
问：
(1).过P点的直线交圆C于A,B两点,求线段AB的中点的轨迹
已知点P(1,27^0.5）,圆C：x^2 + y^2 =16.问：(1).过P点的直线交圆C于A,B两点,求线段AB的中点的轨迹
可设弦AB的中点Q(x,y).由垂径定理知,PQ⊥OQ.===>[(y-3√3)/(x-1)]×(y/x)=-1.===>x(x-1)+y(y-3√3)=0.===>轨迹方程为：x²+y²-x-(3√3)y=0.再联立两方程求得-2＜x＜22/7.故轨迹方程为x²+y²-x-(3√3)y=0.(-2＜x＜22/7).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，BC中点为o(x0，y0)，则
x1²+y1²=16，
x2²+y2²=16
以上两式相减，得(x1+x2)(x1-x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0
又x0=(x1+x2)/2，y0=(y1+y2)/2
所以,(y1-y2)/(x1-x2)=-(x1+x2)/(y1+y2)...
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，BC中点为o(x0，y0)，则
x1²+y1²=16，
x2²+y2²=16
以上两式相减，得(x1+x2)(x1-x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0
又x0=(x1+x2)/2，y0=(y1+y2)/2
所以,(y1-y2)/(x1-x2)=-(x1+x2)/(y1+y2)=-x0/y0，即k=-x0/y0.
又点M(x0，y0)和电A(1，27^0.5)也在直线L上，k=(y0-27^0.5)/(x0-1)
所以，-x0/y0=(y0-27^0.5)/(x0-1)，整理得 x0²-x0+y0²-27^0.5y0=0
所以，点M的轨迹方程为x²-x+y²-27^0.5y=0
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