如图,已知△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,AE⊥BC.求证:∠DBC=1/2∠BAC.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 23:51:57
如图,已知△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,AE⊥BC.求证:∠DBC=1/2∠BAC.

如图,已知△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,AE⊥BC.求证:∠DBC=1/2∠BAC.
如图,已知△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,AE⊥BC.
求证:∠DBC=1/2∠BAC.

如图,已知△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,AE⊥BC.求证:∠DBC=1/2∠BAC.
因为AE垂直BC,所以角AEB=角AEC=90度
AB=AC,所以AE是BC中垂线,所以BE=CE
所以三角形AEB与三角形AEC全等(SAS),所以角EAC=角EAB=1/2角BAC
因为BD垂直AC,所以角BDC=90度
角DBC=180度-角C-角BDC=90度-角C
角EAC=180度-角C-角AEC=90度-角C
所以角DBC=角EAC=1/2角BAC

∠DBC=90°-∠C=∠EAC=1/2∠BAC

因为∠BDC=∠AEC=90°,∠C=∠C
故∠DBC=∠CAE
又因AB=AC,AE⊥BC
故由三线合一得∠CAE=∠BAC/2
故∠DBC=∠BAC/2

三角形DBC和三角形AEC都是直角三角形
而且角BCD与角ACE重合,即度数一样大
而且三角形ABC是等腰三角形,即AB=AC
所以角DBC=1/2角BAC

证明:∵BD⊥AC,AE⊥BC
∴在△BCD中,∠C+∠CBD=90°
在△AEC中,∠C+∠EAC=90°
∴∠CBD=∠EAC
又∵△ABC中,AB=AC,
∠BAE=∠EAC
∴∠CBD=∠BAE
∴∠DBC=1/2∠BAC