作业帮已知曲线C:X^2+Y^2+2KX+(4K+10)Y+20+10K=0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 17:48:42
已知曲线C:X^2+Y^2+2KX+(4K+10)Y+20+10K=0
已知曲线C:X^2+Y^2+2KX+(4K+10)Y+20+10K=0
已知曲线C:X^2+Y^2+2KX+(4K+10)Y+20+10K=0
已知曲线C：x2+y2+2kx+（4k+10）y+10k+20=0,其中常数k≠-1；
（1）求证：对任意的k,曲线C是圆,并且圆心在同一条直线上；
（2）证明：曲线C过定点；
（3）若曲线C与x轴相切,求k的值．考点：直线与圆的位置关系；二元二次方程表示圆的条件．专题：计算题．分析：（1）把曲线方程配方后,根据常数k≠-1,得到二元一次方程表示曲线是圆,找出圆心坐标,根据圆心坐标的特点确定出圆心所在直线的方程；
（2）把曲线方程整理为k（2x+4y+10）+（x2+y2+10y+20）=0,把k看作未知数,x与y看作常数,根据多项式的值为0,各项的系数都为0列出关于x与y的方程组,求出方程组的解集得到x与y的值,进而确定出曲线方程恒过的定点坐标,得证；
（3）由圆与x轴相切,得到圆心到x轴的距离等于圆的半径,即圆心的纵坐标的绝对值等于圆的半径,列出关于k的方程,求出方程的解,即可得到满足题意k的值．（1）曲线分成化简得：（x+k）2+（y+2k+5）2=5（k+1）2,
∵k≠-1,∴r2=5（k+1）2＞0,故曲线C都是圆,
∴圆心（-k,-2k-5）,设x=-k,y=-2k+5,
∴y=2x-5,
则圆心在同一直线y=2x-5上；
（2）将x2+y2+2kx+（4k+10）y+10k+20=0整理为：
k（2x+4y+10）+（x2+y2+10y+20）=0,
∴2x+4y+10＝0x2+y2+10y+20＝0,
解得：x＝1y＝−3,
曲线C过定点（1,-3）；
（3）∵曲线C与x轴相切,
∴|2k+5|＝5|k+1|,
解得：k＝5±35,
则曲线C与x轴相切时k=5±35．点评：此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有：恒过定点的曲线方程,二元二次方程表示圆的条件,圆的标准方程,以及直线与圆相切的性质,是一道综合性较强的题．