作业帮已知椭圆x^2/a^2+y^2/a^2=1(a>b>0)与直线x+2y-2=0已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a〉b〉0)与直线x+2y-2=0交于A、B两点,|AB|=√5,且AB的中点的坐标为（m,1/2）,求此椭圆的方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 14:28:56
已知椭圆x^2/a^2+y^2/a^2=1(a>b>0)与直线x+2y-2=0已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a〉b〉0)与直线x+2y-2=0交于A、B两点,|AB|=√5,且AB的中点的坐标为（m,1/2）,求此椭圆的方程
已知椭圆x^2/a^2+y^2/a^2=1(a>b>0)与直线x+2y-2=0
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a〉b〉0)与直线x+2y-2=0交于A、B两点,|AB|=√5,且AB的中点的坐标为（m,1/2）,求此椭圆的方程
已知椭圆x^2/a^2+y^2/a^2=1(a>b>0)与直线x+2y-2=0已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a〉b〉0)与直线x+2y-2=0交于A、B两点,|AB|=√5,且AB的中点的坐标为（m,1/2）,求此椭圆的方程
x=-2y+2
代入
b^2(-2y+2)^2+a^2y^2=a^2b^2
(4b^2+a^2)y^2-8b^2y+4b^2-a^2b^2=0
y1+y2=8b^2/(4b^2+a^2)
AB中点纵坐标是1/2
所以y1+y2=2*1/2
所以8b^2/(4b^2+a^2)=1
a^2=4b^2
代入(4b^2+a^2)y^2-8b^2y+4b^2-a^2b^2=0
8b^2y^2-8b^2y+4b^2-4b^4=0
2y^2-2y+1-b^2=0
y1+y2=1,y1y2=(1-b^2)/2
所以(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=1-2(1-b^2)=-1+2b^2
x=-2y+2
(x1-x2)^2=[(-2y1+2)-(-2y2+2)]^2=4(y1-y2)^2
所以AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(√5)^2
所以5(y1-y2)^2=5
(y1-y2)^2=-1+2b^2=1
b^2=1
a^2=4
x^2/4+y^2=1
首先分析,要求椭圆的方程,就是要求a,b,2个未知数,要知道椭圆上的2个点的坐标才可以解,这两个点正是直线AB与椭圆的交点,AB的中点一定在直线x+2y-2=0,那么把AB中点坐标带入方程,可以直m=1,设A,B的坐标分别为(Xa,Ya),(Xb,Yb)并假定A点在左,B点在右,即Xa
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首先分析,要求椭圆的方程,就是要求a,b,2个未知数,要知道椭圆上的2个点的坐标才可以解,这两个点正是直线AB与椭圆的交点,AB的中点一定在直线x+2y-2=0,那么把AB中点坐标带入方程,可以直m=1,设A,B的坐标分别为(Xa,Ya),(Xb,Yb)并假定A点在左,B点在右,即Xa
Ya-Yb=1,根据中点公式可以知道,Xa+Xb=2,Ya+Yb=1,这样就可以解了,Xa=0,Ya=1
Xb=2,Yb=0,所以椭圆方程就是x^2/4+y^2/1=1
希望你可以理解!
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