作业帮已知直线L：Y=k(X+2√2)与圆C：X^2+Y^2=4.若L与圆相交与A,B两点,记△AOB的面积为S,求函数S=f（x）求S最大值,并求此时K值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 20:13:07
已知直线L：Y=k(X+2√2)与圆C：X^2+Y^2=4.若L与圆相交与A,B两点,记△AOB的面积为S,求函数S=f（x）求S最大值,并求此时K值.
已知直线L：Y=k(X+2√2)与圆C：X^2+Y^2=4.若L与圆相交与A,B两点,记△AOB的面积为S,求函数S=f（x）
求S最大值,并求此时K值.
已知直线L：Y=k(X+2√2)与圆C：X^2+Y^2=4.若L与圆相交与A,B两点,记△AOB的面积为S,求函数S=f（x）求S最大值,并求此时K值.
X²+Y²=4① [圆心在原点,半径为2]
Y=k(X+2√2)② [过定点（-2√2,0）的一条直线]
解题思路：
联立求解上述方程组,得到两个含参数k的分别关于X和Y的一元二次方程,根据韦达定理得出x1+x2和y1+y2的含k表达式.其中(x1+x2)/2和(y1+y2)/2代表着AB的中点坐标,而这个中点到圆心[也是坐标原点]的距离L正好是等腰三角形AOB底边AB上的高.同时可知圆的半径R=2[由圆方程得之],也就是等腰三角形的腰为2,这样三角形底边的一半[半弦长]可根据勾股定理求得：AB/2=√(4-L²).
所以得：S=L√(4-L²)
其中L是k的函数表达式.
至于求S的极值,关键要看具体表达式S=L√(4-L²)的复杂程度了,如果比较简单,可能直接就可得出极值点,否则就要用到高三的导数方法了[既然是高一的题目,想必不会出现这种情形的].
具体解法自己做吧.
1.y=k(x+2√2）与x轴的交点是C(-2√2,0)
设A(a,b),B(c,d)
联立y=k(x+2√2）和x方+y方=4
推出b+d=(4√2/k)/[(1/k方)+1]=4√2k/(1+k方)
b*d=4k方/(1+k方)
推出d-b=[4k/(1+k方)]*√(1-k方)
S=S(ABC)-S(OAC)=0.5*2√2*(d-b)
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1.y=k(x+2√2）与x轴的交点是C(-2√2,0)
设A(a,b),B(c,d)
联立y=k(x+2√2）和x方+y方=4
推出b+d=(4√2/k)/[(1/k方)+1]=4√2k/(1+k方)
b*d=4k方/(1+k方)
推出d-b=[4k/(1+k方)]*√(1-k方)
S=S(ABC)-S(OAC)=0.5*2√2*(d-b)
代如(d-b)即可
定义域是k方<1
2.全化到根号下面去,在求导
导数为0时k=1/√3或-1/√3
此时S=2为最大值
收起
直线恒过定点P(-2√2,0)
可以以PO为底,yB-yA为高描绘这个三角形
即S=2√2*|yB-yA|
将直线化为
x=y/k-2√2
代入圆
(y/k-2√2)^2+y^2=4
(1+1/k^2)y^2-4√2y/k+4=0
y1+y2=4√2/(1+1/k^2)
y1*y2=4/(1+1/k^2)
所以|y1-...
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直线恒过定点P(-2√2,0)
可以以PO为底,yB-yA为高描绘这个三角形
即S=2√2*|yB-yA|
将直线化为
x=y/k-2√2
代入圆
(y/k-2√2)^2+y^2=4
(1+1/k^2)y^2-4√2y/k+4=0
y1+y2=4√2/(1+1/k^2)
y1*y2=4/(1+1/k^2)
所以|y1-y2|
=√(16-16/k^2)/|1+1/k^2|
=4√(1-1/k)(1+1/k)/(1+1/k^2)
=4√[(1-1/k)(1+1/k)/(1+1/k^2)^2]
收起
不会呀！！！
4L正解！