作业帮已知动点P与双曲线x^2-y^2=1的两个焦点F1,F2距离之和为定值,且cosF1PF2最小值为-1/3,求动点P轨迹方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 16:06:53
已知动点P与双曲线x^2-y^2=1的两个焦点F1,F2距离之和为定值,且cosF1PF2最小值为-1/3,求动点P轨迹方程
已知动点P与双曲线x^2-y^2=1的两个焦点F1,F2距离之和为定值,且cosF1PF2最小值为-1/3,求动点P轨迹方程
已知动点P与双曲线x^2-y^2=1的两个焦点F1,F2距离之和为定值,且cosF1PF2最小值为-1/3,求动点P轨迹方程
两个焦点F1,F2的坐标为（-√2,0）、（√2,0）,F1F2=2√2,设PF1+PF2=2a,则
cos∠F1PF2=（PF1^2+PF2^2-F1F2^2)/(2PF1PF2)=[(PF1+PF2)^2-2PF1PF2-8)/(2PF1PF2)
=(4a^2-8)/(2PF1PF2)-1≥(4a^2-8)/[(PF1+PF2)^2/2]-1=(2a^2-4)/a^2-1,即
(2a^2-4)/a^2-1=1/3
a=√6,所以P轨迹方程为椭圆,a=√6,c=√2,b=2
P轨迹方程为：x^2/6+y^2/4=1
(1)
双曲线的焦点：c²=a²+b²=3+2=5，焦点在x轴
根据椭圆定义可知，P点轨迹方程为一椭圆，高长之和=2a,b²=a²－c²
则此方程为x²/a²+y²/b²=1
设P点到两焦点的长度分别为m,n,两线夹角为P,则m+n=2a
根据余弦定理：
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(1)
双曲线的焦点：c²=a²+b²=3+2=5，焦点在x轴
根据椭圆定义可知，P点轨迹方程为一椭圆，高长之和=2a,b²=a²－c²
则此方程为x²/a²+y²/b²=1
设P点到两焦点的长度分别为m,n,两线夹角为P,则m+n=2a
根据余弦定理：
(2c)²=m²+n²-2mn*cos(p)
(2c)²=(m+n)²-2mn(1+cos(p))
2mn(1+cos(p)=4c²-4a²=4b²
cos(p)=4b²/(2mn)-1
mn越大，则 cos(p)越小，当mn取得最大值时，cos(p)取得最小。
mn=m(2a-m)=2am-m²=-(m-a)²+a²
根据此式，当m=a时，mn取得最大值a²
所以，-1/9=4b²/(2a²)-1
b²=a²-5
根据这两个关系式，解出：a²=9,b²=4
所以
点P的轨迹方程为：x²/9+y²/4=1
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