作业帮设A（x1,y1）,B(x2,y2)是椭圆y^2/4+x^2=1上的两点,已知向量m=(x1,y1/2),向量n=(x2,y2/2),若两向量垂直,0为坐标原点,试问三角形AOB的面积是否为定值,如果是,请给予证明,如果不是,请说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 11:32:53
设A（x1,y1）,B(x2,y2)是椭圆y^2/4+x^2=1上的两点,已知向量m=(x1,y1/2),向量n=(x2,y2/2),若两向量垂直,0为坐标原点,试问三角形AOB的面积是否为定值,如果是,请给予证明,如果不是,请说明理由
设A（x1,y1）,B(x2,y2)是椭圆y^2/4+x^2=1上的两点,已知向量m=(x1,y1/2),向量n=(x2,y2/2),若两向量垂直,
0为坐标原点,试问三角形AOB的面积是否为定值,如果是,请给予证明,如果不是,请说明理由
设A（x1,y1）,B(x2,y2)是椭圆y^2/4+x^2=1上的两点,已知向量m=(x1,y1/2),向量n=(x2,y2/2),若两向量垂直,0为坐标原点,试问三角形AOB的面积是否为定值,如果是,请给予证明,如果不是,请说明理由
我是用几何方法做的.注意向量m,n的特征,于是
对椭圆方程做代换：y'=y/2,也即y=2y',（就是把椭圆按y轴方向压扁到原来的1/2）
得到：x^2+(y')^2=1
是半径为1的圆,也就是说m和n（m,n向量的起点在原点）的终点都在这个圆上
那么这两个向量构成的三角形（记成MON）面积是1×1/2=1/2.
把AOB和MON都按y轴分成两个三角形来算面积,三角形截y轴的长当"底",A和B（或M和N）的横坐标的差当作"高".连接AM并延长交x轴于M',连接BN并延长交x轴于N'.
发现这俩的"高"一样（因为A和M的横坐标一样,B和N的横坐标一样）,AOB的"底"是MON的"底"的2倍（把"底"看作 M'MNN' 或 M'ABN' 的中位线）
AOB的面积是MON的面积的2倍,等于1/2×2=1.为定值
设直线AB:y=kx+m
与椭圆y^2/4+x^2=1联立
(k^2+4)x^2+2kmx+m^2-4=0
x1+x2=-2km/(4+k^2),x1*x2=(m^2-4)/(4+k^2)
向量m,向量n垂直
x1*x2+y1*y2/4=0
y1*y2=(kx1+m)(kx2+m)=k^2x1x2+km(x1+x2)+m^2=(4m^2-4k^2)/...
全部展开
设直线AB:y=kx+m
与椭圆y^2/4+x^2=1联立
(k^2+4)x^2+2kmx+m^2-4=0
x1+x2=-2km/(4+k^2),x1*x2=(m^2-4)/(4+k^2)
向量m,向量n垂直
x1*x2+y1*y2/4=0
y1*y2=(kx1+m)(kx2+m)=k^2x1x2+km(x1+x2)+m^2=(4m^2-4k^2)/(4+k^2)
x1*x2+y1*y2/4=(m^2-4)/(4+k^2)+(m^2-k^2)/(4+k^2)=(2m^2-k^2-4)/(4+k^2)
2m^2=k^2+4
|AB|=√(1+k^2)|x1-x2|
=√(1+k^2)*√[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√(1+k^2)*√[16(k^2+4-m^2)/(k^2+4)^2]
=√(1+k^2)*√[16(2m^2-m^2)/(2m^2)^2]
=√(1+k^2)* 2/|m|
d=|m|/√(1+k^2)
S=1/2*|AB|*d
=1/2*√(1+k^2)* 2/|m| *|m|/√(1+k^2)
=1
三角形AOB的面积是定值1
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