已知函数f（x)=x²+ax+blnx （x>0,实数a,b为常数）.若a+b=-2,讨论f（x）的单调性

已知函数f（x)=x²+ax+blnx （x>0,实数a,b为常数）.若a+b=-2,讨论f（x）的单调性
已知函数f（x)=x²+ax+blnx （x>0,实数a,b为常数）.若a+b=-2,讨论f（x）的单调性

已知函数f（x)=x²+ax+blnx （x>0,实数a,b为常数）.若a+b=-2,讨论f（x）的单调性

由题设：f(x)的定义域为x>0

对f(x)求导：f'(x)=2x+a+b/x=-2-b+2x+b/x

令f'(x)=-2-b+2x+b/x=0得：2x^2-(b+2)x+b=0 解得x=1或x=b/2

b≤0时,x=b/2<0(舍去)

由f'(x)<0得0<x<1；由f'(x)>0得x>1

此时,f(x)在(0,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增

b>0时,需讨论b/2与1的大小：

i)b/2<1,即0<b<2时,由f'(x)<0得b/2<x<1；由f'(x)>0得0<x<b/2或x>1

   即f(x)在[b/2,1]上单调递减,在(0,b/2)和(1,+∞)上单调递增

ii)b/2>1,即b>2时,由f'(x)<0得1<x<b/2；由f'(x)>0得0<x<1或x>b/2

   即f(x)在[1,b/2]上单调递减,在(0,1)和(b/2,+∞)上单调递增

iii)b/2=1,即b=2时,f'(x)=2(x-1)^2/x≥0

   即f(x)在(0,+∞)上单调递增

f(x)定义域为(0,+∞)；
f'(x)=x+ax+b/x=(2x^2+ax-a-2)/x=(2x-a-2)(x+1)/x；（b=-a-2）
①当a+2>0时；
当0当x=(a+2)/2时 f'(x)=0
当x>(a+2)2时 f'(x)>0
所以f(x)的单调增区间为((a+2)/2,+∞)，单调减区间为(...

全部展开

f(x)定义域为(0,+∞)；
f'(x)=x+ax+b/x=(2x^2+ax-a-2)/x=(2x-a-2)(x+1)/x；（b=-a-2）
①当a+2>0时；
当0当x=(a+2)/2时 f'(x)=0
当x>(a+2)2时 f'(x)>0
所以f(x)的单调增区间为((a+2)/2,+∞)，单调减区间为(0,(a+2)/2)。
②当a+2<=0时
对于任意x>0，有f'(x)>0，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增。

收起

f（x)=x²+ax+blnx
f'(x)=2x+a+b/x=﹙2x²＋ax＋b﹚/x
x＞0
设g(x)=2x²＋ax＋b
∴△=a²-8b
=﹙-2-b﹚²-8b
=﹙b-2﹚²
x1=b/4,x2=1-b/4
当b=2时f'(x)≥0,∴f（x）的单调增
当b＞...

全部展开

f（x)=x²+ax+blnx
f'(x)=2x+a+b/x=﹙2x²＋ax＋b﹚/x
x＞0
设g(x)=2x²＋ax＋b
∴△=a²-8b
=﹙-2-b﹚²-8b
=﹙b-2﹚²
x1=b/4,x2=1-b/4
当b=2时f'(x)≥0,∴f（x）的单调增
当b＞2时f'﹙x﹚在（0.1-b/4﹚，﹙b/4,﹢∞)单调增,在﹙1-b/4，b/4﹚单调减。
当b＜2时f'﹙x﹚在（0,b/4﹚，﹙1-b/4,﹢∞)单调增,在﹙b/4，1-b/4﹚单调减。

收起