已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)=lnx(1)求函数y=xg(x)-2x的单调增区间(2)若y=f(x)在[1,+无穷]上是单调增区间 求a的取值范围.(3)是否存在实数a>0使得方程g(x)/x=f(x)'-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有2个不相等的

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/19 01:39:36
已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)=lnx(1)求函数y=xg(x)-2x的单调增区间(2)若y=f(x)在[1,+无穷]上是单调增区间 求a的取值范围.(3)是否存在实数a>0使得方程g(x)/x=f(x)'-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有2个不相等的

已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)=lnx(1)求函数y=xg(x)-2x的单调增区间(2)若y=f(x)在[1,+无穷]上是单调增区间 求a的取值范围.(3)是否存在实数a>0使得方程g(x)/x=f(x)'-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有2个不相等的
已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)=lnx
(1)求函数y=xg(x)-2x的单调增区间
(2)若y=f(x)在[1,+无穷]上是单调增区间 求a的取值范围.
(3)是否存在实数a>0使得方程g(x)/x=f(x)'-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有2个不相等的实数根?若存在,请求出a的取值范围.若不存在,请说明理由

已知函数f(x)=1/2ax^2+2x,g(x)=lnx(1)求函数y=xg(x)-2x的单调增区间(2)若y=f(x)在[1,+无穷]上是单调增区间 求a的取值范围.(3)是否存在实数a>0使得方程g(x)/x=f(x)'-(2a+1)在区间(1/e,e)内有且只有2个不相等的
h(x)=xg(x)-2x=xln(x)-2x,x>0.
h'(x)=ln(x)+1-2=ln(x)-1,
00,h(x)单调递增.
f(x)=ax^2/2 + 2x,
x>=1时,f'(x)=ax+2>=0.
x>=1,a>=0时显然满足要求.
x>=1,a0.
ln(x)=ax^2 +(1-2a)x,
s(x)=ln(x) - ax^2 + (2a - 1)x,
1/e0,s(x)单调递增.s(1/e)

解 (I) ,则
因为函数h(x)存在单调递减区间,所以 <0有解.
又因为x>0时,则ax2+2x-1>0有x>0的解.
①当a>0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0总有x>0的解;
②当a<0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,而ax2+2x-1>0总有x>0的解;
则△=4+4a>0,且方程ax2+2x-1=0至...

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解 (I) ,则
因为函数h(x)存在单调递减区间,所以 <0有解.
又因为x>0时,则ax2+2x-1>0有x>0的解.
①当a>0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0总有x>0的解;
②当a<0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,而ax2+2x-1>0总有x>0的解;
则△=4+4a>0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根.此时,-13)当a=0时,y=2x-1,显然有正解
综上所述,a的取值范围为(-1, +∞).
2)根据题意,当1≤x≤4时, ≤0
即当1≤x≤4时,ax2+2x-1≥0
①当a>0时,y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0总有x>0的解;
②当a<0时,y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线,根据条件可知
a+2-1≥0且16a+8-1≥0,解得a≥-7/16
3)当a=0时,y=2x-1,显然满足
综上所述,a的取值范围为(-7/16, +∞).

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