若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明:在(0,1)内必存在一点ξ,使得若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明:必存在点ξ∈(0,1) 使得2f(ξ)+ξf'(ξ)=0 （题目要

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 03:57:23

若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明:在(0,1)内必存在一点ξ,使得若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明:必存在点ξ∈(0,1) 使得2f(ξ)+ξf'(ξ)=0 （题目要
若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明:在(0,1)内必存在一点ξ,使得
若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明:必存在点ξ∈(0,1) 使得2f(ξ)+ξf'(ξ)=0
（题目要求用拉格朗日中值定理）
求高手解答啊。我在线等

若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明:在(0,1)内必存在一点ξ,使得若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明:必存在点ξ∈(0,1) 使得2f(ξ)+ξf'(ξ)=0 （题目要
先构造函数g(x)=x^2f(x),g'(x)=2xf(x)+x^2f'(x)
容易验证g(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导
并且g(0)=g(1)=0,那么由拉格朗日中值定理得,在(0,1)内必存在一点ξ,使得
g'(ξ)=(g(1)-g(0))/(1-0)=0
即2ξf(ξ)+ξ^2f'(ξ)=0
因为ξ≠0,所以两边同除以ξ得
2f(ξ)+ξf'(ξ)=0
命题得证

全部展开

如果函数f(x)在（a，b）上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈[a,b]，使得　　f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a) 拉格朗日中值定理的几何意义
所以：存在一点ξ，使得：
f'(ξ)*(1-0)=f(1)-f(0)=0
f'(ξ)=0
可令g(x)=x^2f(x)
g(0)=0 g(1)=f(1)=0
f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导，g(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导.
使得：g'(ξ)(1-0)=g(1)-g(0)=0
g'(x)=2xf(x)+x^2f'(x)
g'(ξ)=2ξ(f(ξ)+f'(ξ)(ξ^2)=0
ξE(0,1)
所以同时除以ξ
2f(ξ)+ξf'(ξ)=0

收起

若函数f(x)在【0,1】上连续,证明∫f（sinx）=∫f（cosx） 0 证明：函数f(x)=sin(x)/x在(0,1)上是一致连续的判定函数在定义域上是否连续（说明理由）f(x)=0,若x 设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,且0 设函数f(x)在区间[0,1]上连续,切0 设函数y=f(x)在[0,1]上连续,且0 设函数y=f(x)在[0,1]上连续,且0 高数证明题：设函数f(x)在区间[0,1]上连续,证明高数题求解.设函数f（x）在0到1上闭区间连续,证明若函数f(x)在[a,b]上连续,a 若函数f(x)在[a,b]上连续,a 若函数f(x)在[a,b]上连续,a 设函数f(x)在（01]上连续,且极限lim->0+f(x)存在,证明函数f(x)在（0,1]上有界设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(0 一道函数连续的证明题f(x)在[0,2a]上连续,f(0)=f(2a).证明 f(x)=f(x+1) 在[0,a]上至少有一个根 f(x)在(0,1)上连续,证明一道高数题,设函数f(x)在[0,+∞)上连续,且f(x)=x(e^-x)+(e^x)∫(0,1) f(x)dx,则f(x)=?设函数f(x)在[0,+∞)上连续,且f(x)=x(e^-x)+(e^x) ∫(0,1) f(x)dx ,则f(x)= 设函数f(x)在[0,无穷)上连续可导,且f(0)=1,|f'(x)|0时,f(x)