已知a大于0 b大于0 且a+b=1 且x y 属于R 证ax^2+by^2大于等于(ax+by)^2 已知a大于0 b大于0 且a+b

已知a大于0 b大于0 且a+b=1 且x y 属于R 证ax^2+by^2大于等于(ax+by)^2 已知a大于0 b大于0 且a+b
已知a大于0 b大于0 且a+b=1 且x y 属于R 证ax^2+by^2大于等于(ax+by)^2 已知a大于0 b大于0 且a+b

已知a大于0 b大于0 且a+b=1 且x y 属于R 证ax^2+by^2大于等于(ax+by)^2 已知a大于0 b大于0 且a+b
因为b=1-a,所以
ax^2+(1-a)y^2-(ax+(1-a)y)^2
=ax^2+(1-a)y^2-a^2x^2-2a(1-a)xy-(1-a)^2y^2
=ax^2-a^2x^2-2axy+2a^2xy+ay^2-a^2y^2
=-(a^2x^2-2a^2xy+a^2y^2)+(ax^2-2axy+ay^2)
=(x-y)^2(a-a^2)
因为0

ax^2+by^2-(ax+by)^2 =ax^2+by^2-(a^2 x^2+b^2 y^2+2abxy) =a(1-a)x^2+b(1-b)y^2-2abxy =abx^2+aby^2-2abxy =ab(x-y)^2>=0