作业帮分解因式:1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3并根据你发现的规律直接写出1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+.+x(1+x)^(n-1)分解因式的结果有什么结论?求求大哥大姐们啦!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 21:29:02
分解因式:1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3并根据你发现的规律直接写出1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+.+x(1+x)^(n-1)分解因式的结果有什么结论?求求大哥大姐们啦!
分解因式:1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3并根据你发现的规律
直接写出1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+.+x(1+x)^(n-1)分解因式的结果
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1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3我们先把1先放一边不考虑!
所以原式就成了x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3 =x(1+x)^0+x(1+x)^1+x(1+x)^2+x(1+x)^3注意观察,这是一个以x为首项,1+x为公比的等比数列,等比数列的求和公式是Sn=a1(1-q^n)/(1-q) ,带入可以得到Sn=x｛1-(1+x)^4｝/｛1-(1+x)｝= (1+x)^4 - 1 这时候我们把刚开始的时候的1加上去.所以因式:1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+x(1+x)^3=(1+x)^3 - 1+1 = (1+x)^4
所以推广到一般情况,1+x+x(1+x)+x(1+x)^2+.+x(1+x)^(n-1) = (1+x)^(n-1+1)=(1+x)^n