作业帮圆C:(x-2)2+y2=4,圆M:(x-2-5cosa)2+(y-5sina)2=1.过圆M上任意点P作圆C的两条切线PE,PF,切点为E,F求向量PE与向量PF的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 00:11:30
圆C:(x-2)2+y2=4,圆M:(x-2-5cosa)2+(y-5sina)2=1.过圆M上任意点P作圆C的两条切线PE,PF,切点为E,F求向量PE与向量PF的最小值
圆C:(x-2)2+y2=4,圆M:(x-2-5cosa)2+(y-5sina)2=1.过圆M上任意点P作圆C的两条切线PE,PF,切点为E,F
求向量PE与向量PF的最小值
圆C:(x-2)2+y2=4,圆M:(x-2-5cosa)2+(y-5sina)2=1.过圆M上任意点P作圆C的两条切线PE,PF,切点为E,F求向量PE与向量PF的最小值
圆C:(x-2)²+y²=4,圆M:(x-2-5cosa)²+(y-5sina)²=1.过圆M上任意点P作圆C的两条切线PE,PF,切点为E,F ,求向量PE与向量PF的最小值
园M：[x-(2+5cosα)]²+(y-5sinα)²=(x-m)²+(y-n)²=1
其圆心坐标：m=2+5cosα,n=5sinα；即有(m-2)²+n²=25
故园M的圆心在一个园心为(2,0),半径＝5的大园上,这个大园与园C:(x-2)²+y²=4是同心园.
基于对称性,我们取一个较为方便的位置进行研究.
取α=0,此时m=7,n=0,于是P点在(x-7)²+y²=1的小园上,这个小园与x轴有两个交点,左边
的交点P₁(6,0）；右边的交点P₂(8,0).因为P₁离园C比较近,因此切线比较短,两条切
线的夹角θ比较大,且θ是锐角,cosθ是减函数,因此由P₁作出的两条切线向量的模比较小,
cosθ的值比较小,故数量积P₁E•P₁F必是最小.
不难确定：在RT△CEP₁中,CP₁=4,CE=2,故
│P₁E│=│P₁F│=√(16-4)=√12,cos(θ/2)=(√12)/4=(√3)/2,cosθ=2cos²(θ/2)-1=1/2
∴min(PE•PF)=P₁E•P₁F=│P₁E│×│P₁F│cosθ=(√ 12)×(√ 12)×(1/2)=6.