函数f：R→R满足下述条件：对所有实数x,有f(x+19)≤f(x)+19 和 f(x+94)≥f(x)+94.求证：对所有实数x,f(x+1)=f(x)+1.

函数f：R→R满足下述条件：对所有实数x,有f(x+19)≤f(x)+19 和 f(x+94)≥f(x)+94.求证：对所有实数x,f(x+1)=f(x)+1.
函数f：R→R满足下述条件：对所有实数x,有f(x+19)≤f(x)+19 和 f(x+94)≥f(x)+94.求证：对所有实数x,f(x+1)=f(x)+1.

函数f：R→R满足下述条件：对所有实数x,有f(x+19)≤f(x)+19 和 f(x+94)≥f(x)+94.求证：对所有实数x,f(x+1)=f(x)+1.
一楼的反证法有漏洞.按这个证法,可以证明f(x+19·94/n)=f(x)+19·94/n对任意大的自然数n都成立,那么当n→+∞时,岂不是可以证明f(x)有无穷小的正周期,那么f(x)岂不只能是常函数了?
寂寂落定的漏洞在于：事先肯定了f(x+1)与f(x)+1有恒定方向的不等式成立.这可不一定呀.
其实,我们只能证明f(x+1)=f(x)+1,即可得到最小正周期为1.证明如下：
∵f(x+19)≤f(x)+19,∴f(x+19n)≤f(x+19(n-1))+19≤…≤f(x)+19n
由于95=19·n,所以f(x)+95≥f(x+95)=f(x+1+94)≥f(x+1)+94
得f(x+1)≤f(x)+1
同理,由f(x+94)≥f(x)+94得f(x+94m)≥f(x)+94m
取m=18,因94·18=1692=19·89+1,所以f(x)+1692≤f(x+1692)≤f(x+1)+1691
得f(x+1)≥f(x)+1
所以f(x+1)=f(x)+1

说实话我都好久没摸过书了 实在不好意思了！好像是把19移到左边，把94也移到左边，得到f(x)的范围，f(x+19)—19≤f(x)≤f(x+94)-94 观察两边把x都加上1，变成f(x+1+19)—19≤f(x+1)≤f(x+1+94)-94 然后好像有个什么公式来 实在想不起来了 看看这些能不能帮助你 有什么思路！！...

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说实话我都好久没摸过书了 实在不好意思了！好像是把19移到左边，把94也移到左边，得到f(x)的范围，f(x+19)—19≤f(x)≤f(x+94)-94 观察两边把x都加上1，变成f(x+1+19)—19≤f(x+1)≤f(x+1+94)-94 然后好像有个什么公式来 实在想不起来了 看看这些能不能帮助你 有什么思路！！

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反证法：
若f(x+1)不等于f(x)+1
（1）f(x+1)>f(x)+1
f(x+2)>f(x+1)+1>f(x)+2
……
f(x+19)>f(x+18)+1>……>f(x)+19
矛盾。
同理
(2)f(x+1)与f(x+94)≥f(x)+94矛盾。
故：对所有实数x，f(x+1)=f(x)+1。

由于有f(x+19)≤f(x)+19，所以不难推得f(x+95)<=f(x)+19*5
而根据已知，右边<=f(x+94)+1。所以得到f(x+95)<=f(x+94)+1
这个式子对于任意x成立，所以可以把x+94换成x，得f(x+1)<=f(x)+1对任意x成立
那么在(f(x+94)-f(x+93))+(f(x+93)-f(x+92))+(f(x+92)-f(x+91...

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由于有f(x+19)≤f(x)+19，所以不难推得f(x+95)<=f(x)+19*5
而根据已知，右边<=f(x+94)+1。所以得到f(x+95)<=f(x+94)+1
这个式子对于任意x成立，所以可以把x+94换成x，得f(x+1)<=f(x)+1对任意x成立
那么在(f(x+94)-f(x+93))+(f(x+93)-f(x+92))+(f(x+92)-f(x+91))+...+(f(x+1)-f(x))=f(x+94)-f(x)>=94这个不等式中，左边的94项每项对是<=1的
所以他们的和要想>=94，只可能每个都等于1
特别地，应该有f(x+1)-f(x)=1。得证

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