正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E、F、M、N分别是A1B1、BC、D1C1、B1C1的中点.（1）求证：MN⊥平面ENF（2）求三棱锥E-MNF的体积（3）求二面角M-EF-N的正切值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 19:46:19

正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E、F、M、N分别是A1B1、BC、D1C1、B1C1的中点.（1）求证：MN⊥平面ENF（2）求三棱锥E-MNF的体积（3）求二面角M-EF-N的正切值
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E、F、M、N分别是A1B1、BC、D1C1、B1C1的中点.（1）求证：MN⊥平面ENF（2）求三棱锥E-MNF的体积（3）求二面角M-EF-N的正切值

正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,E、F、M、N分别是A1B1、BC、D1C1、B1C1的中点.（1）求证：MN⊥平面ENF（2）求三棱锥E-MNF的体积（3）求二面角M-EF-N的正切值
如图所示:
(1) 连接A1C1,B1D1,相交于O,MN,EN均为△的中位线, ∴ MN∥B1D1,EN∥A1C1, 而A1C1⊥B1D1, ∴ MN⊥EN.又FN⊥面A1C1, ∴ FN⊥MN, EN∩FN=N,
∴ MN⊥面ENF
(2) 三棱锥E-MNF的体积=三棱锥M-ENF的体积=△ENF的面积×MN/3,
∵ MN=EN=√2a/2, ∴ △ENF的面积=EN×NF/2=√2a^/4,
∴ 三棱锥E-MNF的体积=(√2a^/4)×(√2a/2)/3=a^3/12
(3) 设二面角M-EF-N的二面角的平面角为θ.由(1)知,MN⊥面ENF,∴ △MEF在面ENF的射影是△ENF,由面积射影定理,得
cosθ=△ENF的面积/△MEF的面积, 易得EF=MF=√6a/2, FO=√5a/2,等腰△MEF的面积=√5a^/4(见附图), ∴ cosθ=(√2a^/4)/(√5a^/4)=√2/√5,
∴ tanθ=√6/2, ∴ 二面角M-EF-N的正切值为√6/2.

已知正方体abcd-A1B1C1D1棱长为2 求正方体对角线ac1的长已知正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为a,求对角线AC1的长在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,D1到B1C的距离为? 棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A到截面B1CD的距离在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中四面体AB1CD1的体积正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,求二面角A1-AC-B的大小已知棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1,求三棱锥B-ACB1的体积已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,求异面直线B1C和BD1的距离已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,求二面角A1-BD1-C1的大小正方体ABCD--A1B1C1D1的棱长为a,求二面角A1--AC--B的大小如图,正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为a,二面角a1-ac-b的大小在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,D1到B1C的距离正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,求对角线AC与BC1的距离在棱长为a的正方体中ABCD-A1B1C1D1,求D1B与AC的距离在棱长为a的正方体中ABCD-A1B1C1D1,求D1B与AC的距离已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求DA1与AC的距离已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求DA1与AC的距离正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,求A1C1到AB1C的距离